تبلیغات
علوم و تکنولوژی و اطلاعات عمومی - تبدیل لاپلاس
 
درباره وبلاگ



مدیر وبلاگ : حامد ژرفی
مطالب اخیر
نویسندگان
نظرسنجی
نظر شما در مورد این وبلاگ چیست؟








جستجو

آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :
علوم و تکنولوژی و اطلاعات عمومی




تبدیل لاپلاس (Laplace transform) یک تبدیل انتگرالی (integral transform) است که شاید نسبت به کارکرد تبدیل فوریه (Fourier transform) در حل مسائل فیزیکی در رتبه ی دوم قرار دارد. تبدیل لاپلاس به ویژه در حل معادلات دیفرانسیل معمولی (ordinary differential equations) که در تجزیه و تحلیل مدارهای الکترونیکی مطرح می شوند، دارای کاربرد فراوان است.

تبدیل لاپلاس (یک طرفه)  L، که نبایستی آن را با مشتق لی (Lie derivative) که آن را هم معمولاْ با L نشان می دهند اشتباه گرفته شود، به صورت زیر تعریف می شود:

 L_t[f(t)](s)=int_0^inftyf(t)e^(-st)dt,              

که  f(t) برای t>=0 تعریف می شود (Abramowitz and Stegun 1972). این تبدیل عموماً آن چیزی است که با عنوان تبدیل لاپلاس شناخته می شود، اگر چه یک تبدیل لاپلاس دوطرفه (bilateral Laplace transform) هم داریم که معمولاً به صورت زیر تعریف می شود:

 L_t^((2))[f(t)](s)=int_(-infty)^inftyf(t)e^(-st)dt            

(Oppenheim et al. 1997).

تبدیل لاپلاس معکوس به انتگرال برومویچ (Bromwich integral) معروف است و گاهاً با عنوان انتگرال ملین-فوریه (Fourier-Mellin) نیز شناخته می شود.

جدول زیر، تعدادی از تبدیلات مهم لاپلاس یک طرفه را نشان می دهد:

f L_t[f(t)](s)

شرایط

1 1/s
t 1/(s^2)
t^n (n!)/(s^(n+1)) n in Z>=0
t^a (Gamma(a+1))/(s^(a+1)) R[a]>-1
e^(at) 1/(s-a)
cos(omegat) s/(s^2+omega^2) omega in R
sin(omegat) a/(s^2+omega^2) s>|I[omega]|
cosh(omegat) s/(s^2-omega^2) s>|R[omega]|
sinh(omegat) a/(s^2-omega^2) s>|I[omega]|
e^(at)sin(bt) b/((s-a)^2+b^2) s>a+|I[b]|
e^(at)cos(bt) (s-a)/((s-a)^2+b^2) b in R
delta(t-c) e^(-cs)
H_c(t) {1/s   for c<=0; (e^(-cs))/s   for c>0
J_0(t) 1/(sqrt(s^2+1))
J_n(at) ((sqrt(s^2+a^2)-s)^n)/(a^nsqrt(s^2+a^2)) n in Z>=0

 در جدول بالا،  J_0(t) تابع بسل نوع اول (Bessel function of the first kind) مرتبه ی صفرام، delta(t) تابع دلتا (delta function) و H_c(t) تابع پله ی هوی ساید (Heaviside step function) هستند.

تبدیل لاپلاس خواص بسیار مهمی دارد. قضیه ی وجود تبدیل لاپلاس بیان می کند که اگر f(t) روی هر بازه ی متناهی در [0,infty) تکه ای پیوسته * باشد و برای همه ی t in [0,infty) در

 |f(t)|<=Me^(at)                 

صدق کند، آن گاه  L_t[f(t)](s) برای همه ی s>a موجود است. تبدیل لاپلاس یکتا (unique) است، به این معنی که با داشتن دو تابع  F_1(t) و  F_2(t) با تبدیل یکسان، داریم:

 L_t[F_1(t)](s)=L_t[F_2(t)](s)=f(s),        

آن گاه قضیه ی لرچ (Lerch's theorem) تایید می کند که انتگرال

 int_0^aN(t)dt=0           

برای همه ی a>0 برای یک تابع صفر (پوچ - null function) با معادله ی

 N(t)=F_1(t)-F_2(t).                    

صفر می شود. تبدیل لاپلاس خطی است، زیرا

int_0^infty[af(t)+bg(t)]e^(-st)dt   =   L_t[af(t)+bg(t)]         

aint_0^inftyfe^(-st)dt+bint_0^inftyge^(-st)dt   =                                       

aL_t[f(t)]+bL_t[g(t)].    =                                       

تبدیل لاپلاس کانولوشن (convolution) به صورت زیر تعریف می شود:

 L_t[f(t)*g(t)]=L_t[f(t)]L_t[g(t)] 
L_t^(-1)[FG]=L_t^(-1)[F]*L_t^(-1)[G].

حال مشتق گیری را در نظر می گیریم. فرض کنیم  f(t)،  n-1 بار در [0,infty) مشتق پذیر باشد. اگر  |f(t)|<=Me^(at)، آنگاه

 L_t[f^((n))(t)](s)=s^nL_t[f(t)]-s^(n-1)f(0)-s^(n-2)f^'(0)-...-f^((n-1))(0).         

این را میتوان به کمک انتگرال جزء به جزء آشکار ساخت:

lim_(a->infty)int_0^ae^(-st)f^'(t)dt   =   L_t[f^'(t)](s)         

lim_(a->infty){[e^(-st)f(t)]_0^a+sint_0^ae^(-st)f(t)dt}   =                              

lim_(a->infty)[e^(-sa)f(a)-f(0)+sint_0^ae^(-st)f(t)dt]   =                              

sL_t[f(t)]-f(0).  =                              

ادامه ی این روش به مشتقات مرتبه ی بالاتر نتیجه می دهد:

 L_t[f^('')(t)](s)=s^2L_t[f(t)](s)-sf(0)-f^'(0).            

ار این خاصیت تبدیل لاپلاس می توان در تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلاتی جبری استفاده کرد که به حساب هوی ساید (Heaviside calculus) معروف است. آنگاه با انجام تبدیل وارون می توان به پاسخ دست یافت. به عنوان مثال، بکار بردن تبدیل لاپلاس برای معادله ی دیفرانسیلی

 f^('')(t)+a_1f^'(t)+a_0f(t)=0            

خواهیم داشت:

 {s^2L_t[f(t)](s)-sf(0)-f^'(0)}+a_1{sL_t[f(t)](s)-f(0)}+a_0L_t[f(t)](s)=0          

 L_t[f(t)](s)(s^2+a_1s+a_0)-sf(0)-f^'(0)-a_1f(0)=0,        

که آخری را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

 L_t[f(t)](s)=(sf(0)+f^'(0)+a_1f(0))/(s^2+a_1s+a_0).        

اگر تبدیل وارون لاپلاس را بتوان بر این معادله اعمال کرد، آن گاه معادله ی دیفرانسیل اصلی حل می شود.

تبدیل لاپلاس در چند خاصیت مهم صدق می کند. نمایی کردن (exponentiation) را در نظر بگیرید. اگر برای  (یعنی  تبدیل لاپلاس f باشد)، آن گاه برای s>a+alpha صحیح است. زیرا

int_0^inftyfe^(-(s-a)t)dt   =       F(s-a)           

int_0^infty[f(t)e^(at)]e^(-st)dt    =                              

L_t[e^(at)f(t)](s).   =                              

همچنین تبدیل لاپلاس خواص زیبایی را برای انتگرال های توابع دارد. اگر  f(t) تکه ای پیوسته (piecewise continuous) بوده و |f(t)|<=Me^(at)، در آن صورت

 L_t[int_0^tf(t^')dt^']=1/sL_t[f(t)](s).





نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


جمعه 26 فروردین 1390 :: نویسنده : حامد ژرفی
نظرات ()
دوشنبه 16 مرداد 1396 10:15 ب.ظ
Hello Dear, are you genuinely visiting this site on a regular basis, if so afterward you will definitely get fastidious knowledge.
جمعه 13 مرداد 1396 02:31 ب.ظ
Ahaa, its pleasant conversation regarding this article at this place at this weblog, I have read all that, so now me also commenting here.
پنجشنبه 22 تیر 1396 08:18 ب.ظ
Spot on with this write-up, I actually believe that
this site needs a lot more attention. I'll probably be back again to read through more, thanks for the info!
دوشنبه 25 اردیبهشت 1396 12:20 ق.ظ
My brother suggested I might like this blog. He was totally right.
This post truly made my day. You cann't imagine simply how much time I had spent for this information!
Thanks!
پنجشنبه 7 اردیبهشت 1396 09:12 ب.ظ
What i do not understood is in truth how you are now not really a lot more neatly-appreciated than you may be right
now. You're very intelligent. You understand thus considerably on the subject of this subject, made me for my
part imagine it from numerous numerous angles.
Its like women and men aren't fascinated except it's something to accomplish with Girl gaga!
Your own stuffs excellent. At all times handle it
up!
چهارشنبه 6 اردیبهشت 1396 07:37 ب.ظ
Hey there, You have done an excellent job. I'll definitely digg it and personally suggest to my friends.
I'm sure they'll be benefited from this web site.
سه شنبه 29 فروردین 1396 09:51 ب.ظ
Awesome! Its actually remarkable article, I have got much clear
idea on the topic of from this post.
سه شنبه 29 فروردین 1396 05:29 ب.ظ
I'm extremely impressed with your writing skills and also with the layout on your weblog.
Is this a paid theme or did you modify it yourself?
Either way keep up the excellent quality writing, it's rare to see a
great blog like this one these days.
یکشنبه 27 فروردین 1396 04:08 ب.ظ
Hey there, I think your website might be having browser compatibility issues.

When I look at your blog site in Firefox, it looks fine but when opening in Internet Explorer, it has some overlapping.
I just wanted to give you a quick heads up! Other then that, amazing blog!
چهارشنبه 23 فروردین 1396 07:19 ق.ظ
What's up, this weekend is fastidious designed for me, since this moment i am
reading this great educational piece of writing here at my home.
چهارشنبه 23 فروردین 1396 05:45 ق.ظ
This design is steller! You obviously know how to keep a reader amused.
Between your wit and your videos, I was almost moved to start my own blog (well,
almost...HaHa!) Fantastic job. I really loved what you had to say, and more than that, how you presented it.
Too cool!
سه شنبه 22 فروردین 1396 12:48 ب.ظ
Wonderful article! This is the kind of info that are meant
to be shared across the internet. Shame on Google for no longer positioning this post higher!

Come on over and discuss with my site . Thanks =)
پنجشنبه 17 فروردین 1396 01:46 ب.ظ
Spot on with this write-up, I actually believe
that this amazing site needs far more attention. I'll probably be returning to see more, thanks for the information!
دوشنبه 14 فروردین 1396 08:12 ق.ظ
Spot on with this write-up, I honestly think this amazing site needs a great deal more attention. I'll probably be returning to read more, thanks for
the advice!
شنبه 12 فروردین 1396 12:17 ق.ظ
Great post. I was checking constantly this blog and I'm impressed!

Extremely useful info particularly the last part :) I care for such information a lot.
I was looking for this particular info for a long time.
Thank you and good luck.
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر