تبلیغات
علوم و تکنولوژی و اطلاعات عمومی - سری فوریه
 
درباره وبلاگ



مدیر وبلاگ : حامد ژرفی
مطالب اخیر
نویسندگان
نظرسنجی
نظر شما در مورد این وبلاگ چیست؟








جستجو

آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :
علوم و تکنولوژی و اطلاعات عمومی





سری فوریه، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن، هر تابع متناوبی به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان فرانسوی، ژوزف فوریه ثبت شده است. هدف از این کار، نمایش توابع در دامنه فرکانس می‌باشد.

 پیش گفتار

توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.
فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده است:

x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)

که در آن N یک عدد صحیح مثبت، Ak دامنه ، ωk فرکانس و θk فاز توابع کسینوسی میباشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن فرکانس‌ها {\omega_1},{\omega_2} \ldots {\omega_N}، دامنه‌ها {A_1},{A_2} \ldots {A_N} و فازها {\theta_1},{\theta_2} \ldots {\theta_N} تابع یه طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر این اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است..

 نمایش‌های مختلف سری فوریه

 نمایش مثلثی

اگر f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C} یک تابع متناوب با دوره تناوب T باشد (یا به عبارتی: ‎f(t + T) = f(t)‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:


f(t) = {a_0}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]

که در آن ωn هارمونیک nام سری فوریه به رادیان بوده و ضرایب an، a0 و bn را می‌توان از فرمول‌های اولر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نمیباشد. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

  1. تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال‌ پذیر باشد:
	\int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx < \infty
  1. تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه دارد.
  2. تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی دارد.

 نمایش مختلط

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

  • f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}

و در اینجا:

  • c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt
    .

این رابطه با کمک ‎‎فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که cn به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)
c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)

 نمایش کسینوس-با-فاز

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی ‏(به انگلیسی: ‏line spectra) استفاده می‌شود.

x = {a_0} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)

 محاسبه ضرایب فوریه

نمایش مثلثی

نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همانطور که گفته شدT دوره تناوب و ωn هارمونی nام تابع میباشد. در تبدیل فوریه سه ضریب an و bn و ضریب ثابت a0 مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx

a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos({\omega_n}x) dx, k = 1,2,\ldots

b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin({\omega_n}x) dx, k = 1,2,\ldots

بازه [π,π-] یا در کل بازه هایی که طول آنها است از مهمترین بازه هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده میشود. بدین ترتیب p = 2π پس ضرایب عبارتند از:


a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx

a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx

 b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx

سری فوریه، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن، هر تابع متناوبی به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان فرانسوی، ژوزف فوریه ثبت شده است. هدف از این کار، نمایش توابع در دامنه فرکانس می‌باشد.

پیش گفتار

توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.
فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده است:

x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)

که در آن N یک عدد صحیح مثبت، Ak دامنه ، ωk فرکانس و θk فاز توابع کسینوسی میباشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن فرکانس‌ها {\omega_1},{\omega_2} \ldots {\omega_N}، دامنه‌ها {A_1},{A_2} \ldots {A_N} و فازها {\theta_1},{\theta_2} \ldots {\theta_N} تابع یه طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر این اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است..

 نمایش‌های مختلف سری فوریه

 نمایش مثلثی

اگر f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C} یک تابع متناوب با دوره تناوب T باشد (یا به عبارتی: ‎f(t + T) = f(t)‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:


f(t) = {a_0}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]

که در آن ωn هارمونیک nام سری فوریه به رادیان بوده و ضرایب an، a0 و bn را می‌توان از فرمول‌های اولر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نمیباشد. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

  1. تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال‌ پذیر باشد:
	\int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx < \infty
  1. تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه دارد.
  2. تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی دارد.

 نمایش مختلط

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

  • f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}

و در اینجا:

  • c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt
    .

این رابطه با کمک ‎‎فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که cn به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)
c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)

نمایش کسینوس-با-فاز

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی ‏(به انگلیسی: ‏line spectra) استفاده می‌شود.

x = {a_0} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)

محاسبه ضرایب فوریه

 نمایش مثلثی

نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همانطور که گفته شدT دوره تناوب و ωn هارمونی nام تابع میباشد. در تبدیل فوریه سه ضریب an و bn و ضریب ثابت a0 مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx

a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos({\omega_n}x) dx, k = 1,2,\ldots

b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin({\omega_n}x) dx, k = 1,2,\ldots

بازه [π,π-] یا در کل بازه هایی که طول آنها است از مهمترین بازه هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده میشود. بدین ترتیب p = 2π پس ضرایب عبارتند از:


a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx

a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx

 b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx





نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


سه شنبه 16 آذر 1389 :: نویسنده : حامد ژرفی
نظرات ()
دوشنبه 9 مرداد 1396 10:11 ب.ظ
I used to be recommended this web site by means
of my cousin. I'm now not certain whether this submit is written via
him as no one else recognize such distinctive approximately my trouble.
You are amazing! Thank you!
یکشنبه 4 تیر 1396 06:19 ق.ظ
Precisely what I was searching for, thank you for posting.
جمعه 29 اردیبهشت 1396 10:20 ب.ظ
Hello everyone, it's my first go to see at this site, and post
is genuinely fruitful for me, keep up posting these posts.
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر